Potências

A racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional.

Conseguimos isto realizando algumas operações que eliminam o radical do denominador.

Iremos analisar três casos em particular.

Quando o Denominador é uma Raiz Quadrada

Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com índice igual a dois.

Vamos analisar a seguinte fração:

É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos  por ele mesmo. Vejamos:

Partimos de  e chegamos a 5.

A conversão foi realizada em bem mais passos que o necessário, apenas para que você se recorde das principais propriedades da radiciação, que torna a conversão possível.

Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois  e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor:

Neste nosso exemplo  é o fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.

Genericamente o fator racionalizante de um denominador  é o próprio .

Exemplos

Quando o Denominador é uma Raiz Não Quadrada

Agora vamos tratar um caso cujo índice seja diferente de dois, ou seja, um caso onde não temos uma raiz quadrada.

Observe a fração a seguir:

Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:

Perceba que no caso anterior havíamos partido de  e passamos por 5¹, o que nos permitiu chegarmos a 5.

Note que neste caso, porém, partindo-se de  chegamos a  e como 2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.

Então o que precisamos fazer?

Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a  e não a .

Qual fator é este?

É muito simples. Veja o ponto chave abaixo:

Qual é o número que somado a 1 dá 3?

É dois, pois 3 - 1 = 2.

Então o fator racionalizante da fração é , pois:

Logo:

Podemos então concluir que o fator racionalizante de um denominador  é igual a .

Exemplos

Quando o Denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados

Agora no último caso a ser tratado, veremos como devemos proceder quando no denominador da fração temos uma soma ou diferença de um ou dois radicais com índice igual a 2.

Vejamos a fração abaixo:

Como pode observar, os métodos analisados acima não nos permitem racionalizar este tipo de fração. Para fazê-lo precisamos recorrer a um produto notável, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos.

Mais especificamente, neste produto notável, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Algebricamente temos:

Conseguiu perceber como podemos utilizar este conceito para racionalizarmos a fração proposta?

Parabéns se conseguiu, mas se não conseguiu tudo, daqui a pouco você estará apto a fazê-lo.

Vamos ver o que acontece quando substituímos a por  e b por :

Percebeu agora?

Observe que originalmente tínhamos a expressão  que multiplicamos por , perceba que invertemos o sinal, trocamos "+" por "-", se tivéssemos "-", o teríamos trocado por "+".

Como elevamos  e  ao quadrado, eliminamos assim os radicais.

Como nos casos anteriores, devemos multiplicar ambos os termos da fração pelo fator racionalizante, que neste exemplo é :

Neste último caso o fator racionalizante de um denominador  será  e vice-versa.

Exemplos

Neste último exemplo convertemos tanto 18 em 2 ^_. 3², quanto 12 em 2^2 _. 3 através da decomposição em fatores primos, que você pode revisar se for o caso. Nós também disponibilizamos no site uma calculadora para a fatoração de números naturais, que pode lhe ajudar muito a entender melhor como funciona o método de decomposição de um número natural em seus fatores primos.